IB/FE方法
GRIFFITH和ROO提出的IB/FE方法46在本研究中采用了MV动力学模拟方法。FSI系统的控制方程如下
ρ(∂u∂t(x,t)+u(x,t)⋅∇u(x,t))=−∇p(x,t)+μ∇2u(x,t)+fe(x,t),
(1)
fe(x,t)=∫EFe(X,t)δ(x−χ(X,t))dX,
(3)
∂χ(X,t)∂t=∫Ωu(x,t)δ(x−χ(X,t))dx,
(4)
∫EF(X,t)⋅V(X)dX=−∫EPe:∇V(X)dX.
(5)
哪里X=(X1, X2, X3) ∈ E表示参考结构中的材料(拉格朗日)坐标，x=(x1, x2, x3) ∈Ω表示笛卡尔(欧拉)坐标。Ω⊂ R3表示流体结构系统所占据的物理区域，以及E ⊂ R3表示参考结构中浸没结构(如二尖瓣、腱索等)所占据的区域。ρ是流体密度，p(x, t)欧拉压力，和μ粘度。χ(X, t) ∈Ω给出了物质点的物理位置X时时t..因此，结构在时间上占据的物理区域。t是Ωe(t)=χ(E, t)，以及流体在时间上所占据的物理域。t是Ωf(t)=Ω−Ωe(t)。一个三维正则δ函数δ(x)=δ(x1)δ(x2)δ(x3)用于描述流体-结构相互作用，这意味着IB/FE方法允许流体和结构域的不协调离散化。Pe=∂Ψ∂F第一个Piola-Kirchhoff(PK)应力张量，由应变不变的应变能函数Ψ计算.
耦合流体结构系统的总Cauchy应力张量是
σ(x,t)=σf(x,t)+{σe(x,t)0forx∈Ωeotherwise
(6)
哪里σf=−p(x, t)I + μ[∇u(x, t)+(∇u(x, t))T是流体样应力张量。I是恒等矩阵，并且σe是弹性应力张量，定义为
σe={J−1PeFT0forx∈Ωeotherwise
(7)
哪里F=∂χ∂X变形梯度J=DET(F).
本构关系及参数
生物组织通常可以模拟为非线性弹性材料，其材料参数可以通过单轴或双轴拉伸试验得到，其中组织样品在不同方向上受到不同的拉伸构型。mv解剖实验表明，瓣膜组织基本由纤维组织组成。51,63，主要是胶原蛋白和弹性蛋白，以及液体(主要是水)。在低应变下，波状结构可以通过相对较低的应力来扩展，但随着应变的增加，纤维逐渐伸直，结构的整体响应变得更加刚性。为了确定材料参数，通常通过最小化从选定的本构定律得到的预测拉伸应力数据与实验测量数据之间的差异，即：
阿格敏c1,c2,c3,⋅⋅⋅∑[(σmodel11−σexp11)2+(σmodel22−σexp22)2+⋯]ci>gi
(8)
哪里ci (i≥1)是非负的材料参数gi是本构常数的约束，即>0，以及σ模型是根据一些本构定律计算的，σexp是实验测量。
二尖瓣叶的本构关系
在本研究中，三种纤维增强应变能函数(M1，M2和M3，Eq)。9)对mv叶的力学响应进行了表征，它们都是基于应变不变量的。I1和I4分别
I1=trC,I4=a0⋅(Ca0),
其中C=FTF是柯西-格林变形张量，a0是在参考状态下胶原纤维的方向，这是一个单位向量。I1表示整体变形，通常用于描述各向同性矩阵性质，以及I4是沿着胶原纤维方向的平方拉伸。
M1:M2:M3:Ψ(I1,I4)Ψ(I1,I4)Ψ(I1,I4)===c(I1−3)+a2b(exp[b(I4−1)2]−1),c¯0(exp[c¯1(I1−3)2+c¯2(I4−−√−1)4]−1),c0(exp[c1(I1−3)2+c2(I4−1)2]−1),
(9)
哪里c, a, b, c¯0,c¯1,c¯2和c0, c1, c2是非负的材料参数。我们假设胶原纤维只有在拉伸时才能承受负荷，而不能承受压缩，因此I4在等式里。9代之以I∗4=马克斯(I4,1)..这三种阀叶本构关系均为横向各向同性材料。16，案件M2在纸上使用21，案件M3是从报纸上22,28.
三个选定的应变能函数对应的柯西应力张量如下
σM1σM2σM3======−λI+2F∂Ψ∂CFT−λI+2cB+2a(I4)expb(I4−1)2⋅Fa0⊗Fa0,−λI+2F∂Ψ∂CFT−λI+4c¯0exp[c¯1(I1−3)2+c¯2(I4−−√−1)4][c¯1(I1−3)B+c¯2(I4−−√−1)31I4√⋅Fa0⊗Fa0],−λI+2F∂Ψ∂CFT−λI+4c0exp[c1(I1−3)2+c2(I4−1)2][c1(I1−3)B+c2(I4−1)⋅Fa0⊗Fa0],
(10)
其中λ是执行不可压缩性的拉格朗日乘数，B=FF。T.
应变能函数m1的参数来自高。等人.16派生自离体王教授对健康人MV的检测等人.64..表中显示了案例M1的参数9..在M2和M3的情况下，通过使用情况M1沿光纤和交叉光纤方向进行“伪”双轴拉伸实验来确定参数。这个薄荷利用MATLAB中的函数，利用柯西应力公式(Eq)确定了M_2和M_3本构关系的参数。10)通过最小化当量。8..图中给出了这三个定律的拟合拉伸应力曲线。8–9，并在表中列出了M2和M3的估计参数。10，包括平均误差。
我们进一步拟合了Eq的三个本构定律。9转到离体猪MV双轴拉伸实验。简单地说，新鲜的猪MV样本是从当地屠宰场采集的。实验前将MV和脊索标本解剖保存在4°C磷酸盐缓冲液(PBS)中，在37°C PBS溶液中浸泡。用CellScale生物试验机(加拿大滑铁卢)对MV样品进行了10N载荷传感器的平面双向拉伸试验，对脊索样品进行了单轴拉伸试验(INSTON工业产品，US)。组织标本被拉伸和释放8个完整的周期预适应，直到负荷-位移曲线明显可重复性。最后，将MV和脊索分别拉伸至1500 mN和5N以覆盖生理状况。记录位移和拉力，进行应力应变分析。在试验前三次用数字卡尺(±0.01mm)在随机位置测量标本厚度。从图中可以看出，三种本构定律都能很好地拟合实验数据。10，其中病例1、2和3代表三个心脏的MV数据集。M2模型虽然差异很小，但拟合效果最好。表中报告了相应的R-平方值。11–12前叶和后叶均有较小的差异，说明这三种本构关系适合于描述MV小叶的特性。因此，在本研究中，我们将主要比较它们对MV动力学的影响。
表11用三种本构关系拟合前叶的R-平方值。9我们的猪MV实验。SSE是平方的剩余和，SST表示平方的总和。 表12-后叶与Eq中三个本构定律拟合的R-平方值。9我们的猪MV实验。SSE是平方的剩余和，SST表示平方的总和。 腱索的本构关系
摘要本文对腱索选择了两种本构关系，一种是新钩根材料模型。16，第二种是指数模型。28，他们是
ΨΨ==C(I1−3),a1(exp[a2(I1−3)]−1).
(11)
其中C, a1，和a2是物质常数。两个索本构律的柯西应力是
σσ==−λI+CB,−λI+2a1exp[a2(I1−3)]B.
(12)
图形11根据马博士实验室的单轴拉伸实验数据，给出了用两种索本构关系拟合的拉伸-应力曲线。研究发现，腱索的非线性力学特性只能用指数定律更好地反映。
MV模型与边界条件
从一名健康志愿者的心脏磁共振(Cmr)图像中重建mv模型，并在舒张中期重建小叶，由于cmr成像不能描述脊索结构，因此采用假脊索结构。体内由于分辨率的限制。mv几何重构的细节可以在我们以前的研究中找到。16,36..图形12显示带腱索的MV，安装在壳体中，然后连接到直管(长16厘米，半径3.8cm)，浸入10 cm×10 cm×16 cm的流体域，离散成80×80×128规则网格。
时间步进采用了克兰克尼科尔森-亚当斯后向格式的显式版本，它需要相对较小的时间步长(10)。−5s)。IB/FE MV模型是在开放源码的IBAMR软件框架(https://github.com/IBAMR/IBAMR)。边界条件与纸上相同。16简单地说，压力边界条件适用于直管入口，压力分布如图所示。13..零压力边界条件沿整个计算区域的其余边界应用。壳体和直管固定到位。CMR测量的乳头肌位移被施加到索附着点，其中腱索连接乳头肌。有关mv模型实现的更详细信息，请参见16.
局限性
最后，我们指出了本研究的局限性。虽然我们已经将FSI和非线性本构关系结合起来应用于阀门小叶和腱索。我们忽略了瓣膜与心脏之间的相互作用，这将对动态加载条件产生一定的影响。29..此外，我们的几何结构建立在一个简化的腱索模型的基础上，而实际的脊索结构则由边缘、支柱和基底腱索组成。17..我们把对这些影响的调查留给未来的研究。
